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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 10

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

10. x = 1 / t ,   y   =   - 2 + l n t ,   t   = 1

Passo 1

Fala, pessoal! Tudo bem?

Essa questão pede para a gente calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Para fazer isso, começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Vamos lá!

Passo 2

Em t = 1 , nós temos

x = 1 / 1 = 1

e

y = - 2 + l n 1 = - 2 + 0 = - 2

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 1 , - 2 ) .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

d x d t = - 1 t 2 =

d y d t = 1 t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = 1 / t - 1 / t 2 = - t

Antes de calcular a reta tangente, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = - 1

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = - 1 - 1 / t 2 = t 2

Agora, a gente aplica t = 1 , na equação acima

d 2 y d x 2 = t 2 | t = 1 = 1

Passo 4

Vamos calcular a reta tangente à curva no ponto ( 1 , - 2 ) . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é - t | t = 1 = - 1 . Assim,

y + 2 = 1 ⋅ ( x - 1 )

⇒ y + 2 = x - 1

⇒ y = x - 3

Nos vemos na próxima!

Resposta

y = x - 3

d 2 y d x 2 = 1

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