Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de nesse ponto.

5.

Passo 1

Fala, pessoal! Mais uma questãozinha de curvas paramétricas, não é? Bora lá!

Para resolver essa questão, temos que calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de nesse ponto. Começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

e calculamos usando a seguinte fórmula

Vamos fazer isso nos próximos passos.

Passo 2

Em , nós temos o ponto

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular as derivadas que são necessárias:

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

Antes de calcular a reta tangente, vamos usar para calcular

Agora, podemos obter

Aplicando no ponto , nós temos

Passo 4

Por último, mas não menos importante, vamos calcular a reta tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos do coeficiente angular, que é :

Nos vemos na próxima!

Resposta

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Nos exercícios 9 a 20, determine os pontos nos quais a curva dada tem retas tangentes verticais e horizontais. Faça um esboço do gráfico e mostre essas retas tangentes16. r = 1 - 2 s e n θ

Dada a curva r = k , onde k é uma constante não-nula e α é a medida em radianos da inclinação da reta tangente à curva no ponto r ,θ . Mostre que t g α t g θ = - 1 para todo θ tal que θ ≠ 0 .

Nos exercícios de 29 a 32, ache a medida, em graus, do menor ângulo entre as retas tangentes ao par de curvas dadas nos pontos de intersecção indicados:31. r = 4 c o s θ r = 4 c o s 2 θ - 3 ; - 2 ,2 π

Para a curva r c o s theta = 4 ache underset(theta - (pi)/(2))(lim) chi .

Nos exercícios de 21 a 28, ache χ e α para a curva dada no ponto cujo valor de θ é o indicado. Faça um esboço da curva e mostre χ e α .24. r = 4 s e n θ 2 ; θ = π 3