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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.2 - Ex. 14

Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente à curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto.

14. x = t + e t , y = 1 - e t , t = 0

Passo 1

Fala, pessoal! Última questão deste bloco? Vamos que vamos!

Essa questão pede para calcular a reta tangente à curva, no ponto dado e também o valor de d 2 y / d x 2 nesse ponto. Para isso, começamos identificando o ponto, depois calculamos o coeficiente angular da reta usando a fórmula

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t

e calculamos d 2 y / d x 2 usando a fórmula

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t .

Preparados?

Passo 2

Em t = 0 , nós temos

x = 0 + e 0 = 1

e

y = 1 - e 0 = 0

Ou seja, vamos calcular tudo no ponto ( x , y ) = ( 1,0 ) .

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular o coeficiente angular da curva. Algumas as derivadas são necessárias para isso:

d x d t = 1 + e t

d y d t =   - e t

Assim, conseguimos o coeficiente angular da curva

y ' = d y d x = d y / d t d x / d t = -   e t 1   +   e t

Em t = 0 , esse coeficiente é -   e t 1   +   e t | t = 0 =   - 1 2 . Logo, a equação da reta tangente no ponto ( 1,0 ) :

y - 0 =   - 1 2 ⋅ ( x - 1 )

⇒ y - 0 =   - 1 2 x + 1 2

⇒ y =   - 1 2 x + 1 2

Passo 4

Por último, mas não menos importante, vamos calcular a derivada segunda. Antes disso, vamos usar y ' para calcular

d y ' d t = d d t -   e t 1   +   e t = - e t ( 1   +   e t )   -   e t ⋅ e t ( 1   +   e t ) 2 = - e t ( 1   +   e t ) 2

Agora, podemos obter

d 2 y d x 2 = d y ' / d t d x / d t = -   e t ( 1   +   e t ) 2 1   +   e t =   - e t ( 1 + e t ) 3

Aplicando no ponto t = 0 , nós obtemos

d 2 y d x 2 =   - e t ( 1 + e t ) 3 | t = 0 = - 1 ( 1 + 1 ) 3 = - 1 8

É só isso por enquanto. Nos vemos na próxima!

Resposta

y = - 1 2 x + 1 2

d 2 y d x 2 = - 1 8

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