Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 54

Nos Exercícios 53-56, encontre o fluxo exterior de F através da fronteira de D

54. Calota esférica F = x z i + y z j + k

D. Toda a superfície da calota superior cortada a partir da esfera sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 25 pelo plano z = 3 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x x z + ∂ ∂ y y z + ∂ ∂ z 1

Com isso, nós temos que

∇ ∙ F = z + z = 2 z

Passo 2

A projeção da região no plano x y é um círculo de raio r = 4 , porque

x 2 + y 2 + z 2 = 25 → x 2 + y 2 = 25 - z 2 ≤ 16

Em coordenadas cilíndricas isso significa que r ≤ 4 . Assim, a região é descrita como

D = r , θ , z 0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 4 ,     3 ≤ z ≤ 25 - r 2 }

Assim, o fluxo para fora do campo vetorial através da superfície é

∬ F ∙ n   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 ∫ 3 25 - r 2 2 r z d z d r d θ

Desenvolvendo os termos

∬ F ∙ n   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 4 r z 2 3 25 - r 2   d r d θ

Com isso, a integral fica da seguinte forma

∬ F ∙ n   d σ = 2 π ∫ 0 4 r 25 - r 2 - 9 r   d r d θ

Simplificando os termos

∬ F ∙ n   d σ = 2 π ∫ 0 4 16 r - r 3   d r  

O resultado fica da seguinte forma

∬ F ∙ n   d σ = 2 π 8 r 2 - r 4 4 0 4 = 2 π 128 - 64 = 128 π

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = 128 π

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.5. CuboD: O cubo limitado pelos planos x = ±1, y = ±1 e z = ±1.
Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.
Nos Exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.
Nos Exercícios 1-4, encontre a divergência do campo.3. O campo gravitacional da Figura 16.8 e Exercício 38a na Seção 16.3.
Nos Exercícios 5-16, utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F através da fronteira da região D.