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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Exercícios práticos - Ex. 59

Lata cilíndrica - Utilize o teorema da divergência para encontrar o fluxo exterior de F = x y 2 i + x 2 y j + y k através da superfície da região delimitada pelo cilindro x 2 + y 2 = 1 e os planos z = 1 e z = - 1 .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Podemos notar que tanto F quanto a região D (com fronteira S), satisfazem a hipótese do Teorema da Divergência. De modo que, aplicando este teorema, o fluxo para fora do campo vetorial através do limite da região é dado por

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ∇ ∙ F   d V

Neste caso, a divergência do campo vetorial é

∇ ∙ F = ∂ ∂ x x y 2 + ∂ ∂ y x 2 y + ∂ ∂ z y = y 2 + x 2

Portanto, o fluxo é igual a

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ( x 2 + y 2 )   d V

Passo 2

Neste caso, a região delimitada pela superfície pode ser descrita como

D = r , θ , z | 0 ≤ θ ≤ 2 π ,     0 ≤ r ≤ 1 ,     - 1 ≤ z ≤ 1

Assim, o fluxo externo através da superfície é

∬ F ∙ n   d σ = ∭ ( x 2 + y 2 )   d V

Expandindo a integral

∬ F ∙ n   d σ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ - 1 1 r 3   d z d r d θ

Desenvolvendo os termos

∬ F ∙ n   d σ = 2 π ∫ 0 1 2 r 3   d r

Essa integral tem como resultado

∬ F ∙ n   d σ = 4 π r 4 4 0 1 = π

Resposta

∬ F ∙ n   d σ = π

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