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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 65

Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe.

f x , y = tg - 1 ⁡ x + y x 2 + y 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos verificar se os limites existem!

lim x , y → 0,0 ⁡ tg - 1 ⁡ x + y x 2 + y 2

Vamos substituir x por r cos ⁡ θ e y por r s e n   θ para simplificar,

lim r → 0 ⁡ tg - 1 ⁡ r cos ⁡ θ + r   s e n   θ r cos ⁡ θ 2 + ( r sen ⁡ θ ) 2

Da relação fundamental da trigonometria, r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = r 2

lim r → 0 ⁡ tg - 1 ⁡ r cos ⁡ θ + | r | s e n   θ r 2

Passo 2

Temos dois casos possíveis agora, por causa do módulo.

Se r → 0 + ,

lim r → 0 + ⁡ tg - 1 ⁡ r cos ⁡ θ + | r | s e n   θ r 2

lim r → 0 + ⁡ tg - 1 ⁡ cos ⁡ θ + s e n   θ r = π 2

Para a função ser infinita, o ângulo da tangente deve ser 90°.

Passo 3

Se r → 0 - ,

lim r → 0 - ⁡ tg - 1 ⁡ r cos ⁡ θ + | r | s e n   θ r 2

lim r → 0 - ⁡ tg - 1 ⁡ cos ⁡ θ + s e n   θ - r = π / 2

Para a função tangente ser infinita, o ângulo deve ser 90°.

Portanto, para ambos os casos, o limite da função enunciada é π / 2 .

Resposta

O limite é π / 2 .

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Sabendo que 2 x y - x 2 y 2 64 - 4 cos ⁡ | x y |2 | x y | Você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ 4 - 4 cos ⁡ | x y | | x y | Justifique sua resposta.
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