Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 60

Extensão contínua Defina f (0, 0) de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

A uma função continua na origem.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos usar o teorema do confronto nessa, para definir que o limite da função enunciada é 0.

Vamos definir as funções que serão comparáveis a partir do módulo da parte de cima da função enunciada,

x y x 2 - y 2 = x y x 2 - y 2 ≤ x y x 2 + y 2

= x 2 y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 | x 2 + y 2 |

= x 2 + y 2 2

Vamos dividir por x 2 + y 2

x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 2 x 2 + y 2

- x 2 + y 2 ≤ x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2

Passo 2

Agora podemos utilizar o teorema do confronto,

lim x , y → 0,0 ⁡ ± x 2 + y 2 = 0

Portanto,

lim x , y → 0,0 ⁡ x y x 2 - y 2 x 2 + y 2 = 0

Resposta

Demonstração

Exercícios de Livros Relacionados

Releia o Exemplo 5. Substitua m = tg θ na fórmula f x , y ​ y = m x = 2 m 1 + m 2 E simplifique o resultado para mostrar como o valor de f varia de acordo com o ângulo de inclinação da retaUtilize a f
Sabendo que sen ⁡ 1 x ≤ 1 , você pode dizer algo sobre lim x , y → 0,0 ⁡ y sen ⁡ 1 x Justifique sua resposta.
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = x 2 - y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = y 2 x 2 + y 2
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x, y) → (0, 0) ou mostre que o limite não existe. f x , y = 2 x x 2 + x + y 2