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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 56

Sabendo que

2 x y - x 2 y 2 6 < 4 - 4 cos ⁡ | x y | < 2 | x y |

Você pode dizer algo sobre

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 - 4 cos ⁡ | x y | | x y |

Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala minha galera querida!! Vamos usar o teorema do confronto que é bem tranquilo, basta tirar o limite das funções menor e maior enunciadas, e se forem iguais, então a função do meio só pode ser a mesma coisa.

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 - 4 cos ⁡ | x y | | x y |

Passo 2

Para ambos os sinais de xy, a resolução a seguir é válida, vamos fazer para xy positivo.

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y - x 2 y 2 6 | x y | = lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y - x 2 y 2 6 x y

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 - x y 6 = 2

E

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x y x y = 2

Portanto, pelo teorema do confronto,

2 < 4 - 4 cos ⁡ | x y | | x y | < 2

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 - 4 cos ⁡ | x y | | x y | = 2

Resposta

Demonstração.

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