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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 44

Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Em seguida, identifique os valores de x para os quais a série converge (b) absolutamente e (c) condicionalmente

44. ∑ n = 0 ∞ n + 1 2 x + 1 n 2 n + 1 2 n

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Vamos considerar que ∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 x + 1 n 2 n + 1 2 n . Aplicando o teste da razão para a série ∑ n = 1 ∞ | u n | , onde u n é o n-ésimo termo da série dada, agora, nós temos que

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 2 ) 2 x + 1 n + 1 2 n + 3 2 n + 1 2 n + 1 2 n ( n + 1 ) 2 x + 1 n

Desenvolvendo os termos

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 2 ) ( 2 x + 1 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) ( 2 ) ( n + 1 ) = 2 x + 1 2 lim n → ∞ ⁡ ( n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) ( n + 1 ) = 2 x + 1 2 lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 2 + 1 n 2 + 3 n 1 + 1 n

O limite lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 2 + 1 n 2 + 3 n 1 + 1 n é igual a 1, com isso

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n = 2 x + 1 2 1 = 2 x + 1 2

Do teste da Razão, obtemos que a série converge absolutamente se x satisfaz 2 x + 1 2 < 1 , o que significa

- 2 < 2 x + 1 < 2 → - 2 - 1 < 2 x < 2 - 1

Com isso, nós temos que

- 3 < 3 x < 1 → - 3 2 < x < 1 2

Sabemos que toda série absolutamente convergente é convergente. Assim, o raio de convergência é 1 ​. Agora temos que testar a convergência ou divergência em cada ponto final, ou seja, - 3 2 e 1 2 ​.

Passo 2

B - Considerando x = - 3 2 , portanto, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 ∙ - 3 2 + 1 n   2 n + 1 2 n

Desenvolvendo os termos

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ n + 1 - 2 n 2 n + 1 2 n

Com isso, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1 2 n + 1

Que diverge pelo teste do n-ésimo termo.

Passo 3

C - Considerando x = - 3 2 , portanto, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) 2 ∙ 1 2 + 1 n   2 n + 1 2 n

Desenvolvendo os termos

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n 2 n + 1 2 n

Com isso, nós temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ n + 1 2 n + 1

Que diverge pelo teste do n-ésimo termo.

Resposta

a )   O   r a i o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é   1   e   o   i n t e r v a l o   d e   c o n v e r g ê n c i a   é - 3 2 < x ≤ 1 2

b )   D i v e r g e n t e

c )   D i v e r g e n t e

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