Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.

15. a_n = n * (2^(1/n) - 1)

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A sequência { a n } converge se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n   ( 1 )

existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Quando n se aproxima do infinito, 1 n tende para 0 . Como 2 0 = 1 , então a expressão 2 1 / n - 1 vai para 0 , quando n se aproxima do infinito

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 = 0

Portanto, quando n se aproxima do infinito, o enésimo termo a n ​ leva à forma indeterminada ∞ ∙ 0 . Esta forma não é adequada para a regra de L'Hospital, então escreveremos a n como:

a n = 2 1 n - 1 1 n  

Passo 2

À medida que n se aproxima do infinito, tanto o numerador quanto o denominador de a n vão para 0 . Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hospital diferenciando o numerador separadamente e diferenciando o denominador separadamente:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n - 1 ' n - 1 '

Usando a regra da cadeia

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n ∙ ln ⁡ 2 ∙ 1 n ' - 0 - 1 n 2 = lim n → ∞ ⁡ 2 1 n ∙ ln ⁡ 2 ∙ - 1 n 2 - 1 n 2

Simplificando os termos,

lim n → ∞ ⁡ 2 1 n ∙ ln ⁡ 2 = ln ⁡ 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 1 n

Passo 3

Já comentamos anteriormente: conforme n se aproxima do infinito, então 1 n ​ vai para 0. Como 2 0 = 1 , então a expressão 2 1 / n ​ vai para 1 quando n se aproxima do infinito. Portanto, a avaliação do limite é igual a:

lim n → ∞ ⁡ a n = ln ⁡ 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 1 n = ln ⁡ 2 ∙ 1 = ln ⁡ 2

Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência { a n } converge.

Resposta

a n   c o n v e r g e   e   lim n → ∞ ⁡ a n = ln ⁡ 2

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