Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 15
Quais das sequências cujos n-ésimos termos aparecem nos Exercícios 1-18 convergem? E quais divergem? Encontre o limite de cada uma das sequências convergentes.
15.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A sequência converge se o limite
existe e é igual a algum número finito (esse número deve ser único). A sequência diverge se o limite (1) não existir ou for igual a . Quando se aproxima do infinito, tende para . Como , então a expressão vai para , quando se aproxima do infinito
Portanto, quando n se aproxima do infinito, o enésimo termo leva à forma indeterminada . Esta forma não é adequada para a regra de L'Hospital, então escreveremos como:
Passo 2
À medida que se aproxima do infinito, tanto o numerador quanto o denominador de vão para . Portanto, podemos aplicar a regra de L'Hospital diferenciando o numerador separadamente e diferenciando o denominador separadamente:
Usando a regra da cadeia
Simplificando os termos,
Passo 3
Já comentamos anteriormente: conforme se aproxima do infinito, então vai para 0. Como , então a expressão vai para quando se aproxima do infinito. Portanto, a avaliação do limite é igual a:
Como o limite é único e igual a um número finito, concluímos que a sequência converge.