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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 59

Encontre a série de Taylor em x = 0 para as funções nos Exercícios 57-64.

59. sen ⁡ π x

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que a função sen ⁡ π x . Temos que encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função dada. Sabemos que a série de Taylor para sen ⁡ x é

sen ⁡ x = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! + x 9 9 ! + … = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 ! ,     p a r a   x ∈ R

Substituindo o argumento da função do seno por π x , temos que

sen ⁡ π x = π x - π x 3 3 ! + π x 5 5 ! - π x 7 7 ! + π x 9 9 ! = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( π x ) 2 n + 1 2 n + 1 !

Separando os termos de π x

sen ⁡ π x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 π 2 n + 1 2 n + 1 ! ,     p a r a   x ∈ R

Resposta

sen ⁡ π x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 π 2 n + 1 2 n + 1 ! ,     p a r a   x ∈ R

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