Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Exercícios práticos - Ex. 69
Utilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios 69-72 com um erro de magnitude menor que . (A seção de respostas fornece os valores das integrais arredondados para 10 casas decimais.)
69.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Dado que a integral pode ser escrita da seguinte forma
Resolvendo a integral, obtemos que
Com isso, nós temos que
Claramente, a série do lado direito é uma série alternada. Do Teorema de Estimação de Séries Alternadas sabemos que para a série se nós aproximamos por então, podemos considerar um erro
Onde
Passo 2
Se , então, nos dá a aproximação necessária da série .
Obs: Isso significa que, para uma série alternada, o erro é menor que o primeiro termo negligenciado, então continue calculando até que os termos fiquem menores que . Claramente o enésimo termo da série da mão direita é
Agora temos que encontrar o menor valor de n tal que
O cálculo direto indica que temos que adicionar primeiro termos para garantir que o erro de magnitude seja menor que . Portanto, nós temos que
Com isso, nós temos que
Com um erro de magnitude menor que .