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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 28

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ - 2 n n + 1 x - 1 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

2 x - 1 l i m n → ∞ n + 2 n + 1 < 1

Desenvolvendo matematicamente:

2 | x - 1 | < 1

Ou seja:

| x - 1 | < 1 2

Desenvolvendo um pouco mais:

- 1 2 < x - 1 < 1 2

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

1 2 < x < 3 2

Logo, quando x = 1 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ ( n + 1 ) → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = 3 / 2 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( n + 1 ) → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 2 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. 1 2 < x < 3 2

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 1 2 < x < 3 2

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 / 2 , e o intervalo de convergência da mesma é

    2. 1 2 < x < 3 2

  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. 1 2 < x < 3 2

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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