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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 23

Nos Exercícios 1-36, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absolutamente? E (c) condicionalmente?

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n x n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Nossa primeira tarefa é desenvolver essa série!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Adequando à série dada, temos:

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n + 1 n + 1 x n + 1 1 + 1 n n x n < 1

Ou:

x l i m t → ∞ 1 + 1 t t l i m n → ∞ 1 + 1 n n < 1

Desenvolvendo matematicamente:

x e e   < 1

Ou seja:

x < 1

Passo 2

O que resulta no seguinte intervalo:

- 1 < x < 1

Logo, quando x = - 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 1 n 1 + 1 n n → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Obs: Essa série é divergente pelo teste do n-ésimo termo, uma vez que:

l i m n → ∞ 1 + 1 n n = e ≠ 0

E quando x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n n → s é r i e   d i v e r g e n t e

Passo 3

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 < x < 1
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

Resposta

  1. Podemos então concluir que o raio de convergência da série é 1 , e o intervalo de convergência da mesma é - 1 < x < 1
  2. O intervalo de convergência absoluta da série é

    3. - 1 < x < 1

  3. Não há valores para os quais a série converge condicionalmente.

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