Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 3
Nos exercícios 1 a 4, para a equação dada,
- Encontre uma equação do gráfico em relação aos eixos , obtidos por uma rotação de um ângulo cuja medida é e
- Faça um esboço do gráfico e mostre os dois conjuntos de eixos.
3)
Passo 1
Primeiramente, precisamos nos lembrar do Teorema 10.4.1 para resolver essa questão de rotação:
Teorema 10.4.1
Se (x,y) for a representação de um ponto P em relação a um conjunto de eixos e for a representação de P após a rotação dos eixos de um ângulo , então
- e
- e
Com no Teorema 10.4.1 (i), obtemos:
e
e
Substituindo essas expressões para x e y na equação , obtemos:
Desenvolvendo os produtos notáveis e simplificando:
Passo 2
A equação obtida no Passo 1 é a equação de uma hipérbole cujas assíntotas são as bissetrizes dos quadrantes no sistema xy. Assim o gráfico da equação é apresentado abaixo:
Resposta
a)
b)
Exercícios de Livros Relacionados
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.17. x 2 + 2 x y + y 2 + x - y - 4 = 0
Mostre que o gráfico de x + y = 1 é um segmento de uma parábola por uma rotação de eixos de um ângulo cuja medida é π 4 . (Sugestão: elimine os radicais na equação antes de aplicar o Teorema 10.4.1.)
Mostre que para a equação geral do segundo grau em duas variáveis, o discriminante B 2 - 4 A C é invariante sob uma rotação de eixos.
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.18. 16 x 2 - 24 x y + 9 y 2 - 60 x - 80 y
Nos Exercícios de 3 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.20. 3 x 2 - 4 x y + 8 x - 1 = 0