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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 18

Calcule a integral indefinida

int (d x)/(sqrt(3 x - x^2 - 2))

Passo 1

int (d x)/(sqrt(3 x - x^2 - 2))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo x^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

3 x - x^2 - 2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

3 x - x^2 - 2 = - 2 - (x^2 - 3 x)

Vamos olhar so p x^2 - 3 x , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

Comaprando, teremos

a = x

b = (3)/(2)

Agora, temos que somar e subtrair - b^2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

- 2 - (x^2 - 3 x) = ((3)/(2))^2 - 2 - (x^2 - 3 x + ((3)/(2))^2) = (9)/(4) - 2 - (x - (3)/(2))^2 = (1)/(4) - (x - (3)/(2))^2

A nossa integral fica:

int (d x)/(sqrt(3 x - x^2 - 2)) = int (d x)/(sqrt((1)/(4) - (x - (3)/(2))^2))

Passo 2

int (d x)/(sqrt((1)/(4) - (x - (3)/(2))^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o (1)/(4) em evidência dentro da raiz:

(1)/(4) - (x - (3)/(2))^2 = (1)/(4) (1 - 4 (x - (3)/(2))^2)

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

4 (x - (3)/(2))^2 = y^2 -> y = 2 (x - (3)/(2)) -> y = 2 x - 3

Além disso:

d y = 2 d x -> d x = (d y)/(2)

Substituindo na integral:

int (d x)/(sqrt((1)/(4) - (x - (3)/(2))^2)) = int ((d y)/(2))/(sqrt((1)/(4) (1 - y^2))) = int ((d y)/(2))/(sqrt((1)/(4)) sqrt((1 - y^2))) = int ((d y)/(2))/((1)/(2) sqrt((1 - y^2))) = int (d y)/(sqrt((1 - y^2)))

Essa é integra é sen^(- 1) y , então vamos ter:

int (d y)/(sqrt((1 - y^2))) = sen^(- 1) y + C

Voltando para x

sen^(- 1) y + C = sen^(- 1) (2 (x - (3)/(2))) + C

Resposta

sen^(- 1) (2 (x - (3)/(2))) + C

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