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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 04

Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.

  1. Identifique a superfície
  2. Escrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as graficamente.

2 x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 - 2 z + 3 = 0

Passo 1

2 x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 - 2 z + 3 = 0

Organizando:

2 x 2 - 2 x + y 2 - 2 y + z 2 - 2 z = - 3

Complementando os quadrados:

2 x 2 - 2 x + 1 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 - 2 z + 1 = - 3 + 2 + 1 + 1

2 x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 2

Pela equação, temos um elipsoide com centro r c = ( 1,1 , 1 )

Passo 2

Para conseguir representações explícitas, basta isolar os termos:

Isolando x:

2 x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 2

2 x - 1 2 = 1 - y - 1 2 - z - 1 2

x - 1 2 = 1 - y - 1 2 - z - 1 2 2

x = ± 1 - y - 1 2 - z - 1 2 2 + 1

Passo 3

Isolando y:

2 x - 1 2 + y - 1 2 + z - 1 2 = 1 2

y - 1 2 = 1 2 - 2 x - 1 2 - z - 1 2

y = ± 1 2 - 2 x - 1 2 - z - 1 2 + 1

Passo 4

Isolando z:

2 x - 1 2 + y - 1 2 + z 2 - 1 2 = 1 2

z 2 - 1 2 = 1 - 2 x - 1 2 - y - 1 2

z = ± 1 - 2 x - 1 2 - y - 1 2 + 1

Resposta

elipsoide com centro r c = ( 1,1 , 1 )

x = ± 1 - y - 1 2 - z - 1 2 2 + 1

y = ± 1 2 - 2 x - 1 2 - z - 1 2 + 1

z = ± 1 - 2 x - 1 2 - y - 1 2 + 1

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