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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.3 - Ex. 03

Nos exercícios 1 a 7, a equação dada é uma representação implícita de uma superfície S.

  1. Identifique a superfície
  2. Escrever algumas representações explícitas de partes de S, representando-as graficamente.

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 = 11

Passo 1

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y + z 2 = 11

Vamos começar complementando os quadrados:

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 = 11 + 4 + 1

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 16

Chegamos em:

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 4 2

Uma esfera, com raio a = 4 e centro r c = ( 2 ,   1 ,   0 )

Passo 2

Para conseguir representações explícitas, basta isolar os termos:

Isolando x:

x - 2 2 = - y - 1 2 - z 2 + 4 2

x = ± 16 - y - 1 2 - z 2 + 2

Representando os hemisférios frontal e traseiro da esfera

Passo 3

Isolando y:

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 16

y - 1 2 = 16 - x - 2 2 - z 2

y = ± 16 - x - 2 2 - z 2 + 1

Representando os hemisférios laterais da esfera

Passo 4

Isolando z:

x - 2 2 + y - 1 2 + z 2 = 16

z 2 = 16 - x - 2 2 - y - 1 2

z = ± 16 - x - 2 2 - y - 1 2

Representando os hemisférios superior e inferior da esfera

Passo 5

Resposta

Uma esfera, com raio a = 4 e centro r c = ( 2 ,   1 ,   0 )

x = ± 16 - y - 1 2 - z 2 + 2

y = ± 16 - x - 2 2 - z 2 + 1

z = ± 16 - x - 2 2 - y - 1 2

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