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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 14

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

14. r t = cos 3 ⁡ t i + sen 3 ⁡ t j ,     0 < t < π / 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Diferenciando a equação dada em relação a t , obtemos

v = d r d t = d d t cos 3 ⁡ t i + sen 3 ⁡ t j

Que tem como resultado

v = - 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t i + 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t

Derivando novamente, obtemos que

a = - 3 - 2 cos ⁡ t sen 2 ⁡ t + cos 3 ⁡ t i + 3 ( 2 sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - sen 3 ⁡ t ) j

E novamente diferenciando a equação acima em relação a t , para obter

a ' = d a t d t = - 3 - 2 - sin 3 ⁡ t + 2 sen ⁡ t cos 2 ⁡ t - 3 cos 2 ⁡ t sin ⁡ t i + 3 2 cos 3 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t - 3 s en 2 ⁡ t cos ⁡ t j

Da equação (1), obtemos que

v ( t ) = - 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t 2 + 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t 2 = 3 sen ⁡ ( 2 t ) 2

Passo 2

Se r ( t ) é uma curva suave, então a unidade principal normal é

N = d T d t d T d t

Onde T = v v é o vetor tangente unitário, com isso

T = t 2 i + t j t t 2 + 1 = - 3 cos 2 ⁡ t sen ⁡ t i + 3 sen 2 ⁡ t cos ⁡ t j 3 sen ⁡ ( 2 t ) 2 = j sen ⁡ t - i cos ⁡ t

Diferenciando a equação acima em relação a t , obtemos

d T d t = cos ⁡ t j + i sen ⁡ t

Então, o módulo será igual a

d T d t = ( cos ⁡ t ) 2 + sen ⁡ t 2 = 1

Então, para o termo N

N = d T d t d T d t = cos ⁡ t j + i sen ⁡ t

Passo 3

O vetor binormal é dado por

B = T × N

Então

B = i j k - cos ⁡ t sen ⁡ t 0 sen ⁡ t cos ⁡ t 0 = - cos 2 ⁡ t + sin 2 ⁡ t k = - k

E para o torsor

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2

Calculando v × a

v × a = - 9 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

Com isso, nós temos que

v × a = - 9 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t 2 = 9 cos 2 ⁡ t sen 2 ⁡ t

Então, a torção é igual a

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = 0

Resposta

B = - k

τ = 0

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