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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 9

Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e κ . Agora, nos Exercícios 9-16 a seguir, encontre B e τ para essas curvas espaciais

9. r t = 3 sen ⁡ t i + 3 cos ⁡ t j + 4 t k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Dado que

r t = 3 sen ⁡ t i + 3 cos ⁡ t j + 4 t k

Vamos derivar a expressão

r ' t = 3 cos ⁡ t i - 3 sen ⁡ t j + 4 k

Com isso, a magnitude pode ser calculada da seguinte forma

r ' t = 9 cos 2 ⁡ t + 9 sen 2 ⁡ t + 16 = 9 + 16 = 25 = 5

Lembrando que

T t = r ' t r ' t

Com isso, nós temos que

T t = 3 cos ⁡ t i - 3 sen ⁡ t j + 4 k 5 = 3 5 cos ⁡ t i - 3 5 sen ⁡ t + 4 5 k

Novamente, derivando o termo T

T ' t = - 3 5 sen ⁡ t - 3 5 cos ⁡ t j + 0   k

Encontrando a magnitude

T ' ( t ) = 3 5 2 sen 2 ⁡ t + 3 5 2 cos 2 ⁡ t + 0 = 3 5

Passo 2

Já temos o termo T , agora vamos em busca de N , que é dado da seguinte forma

N t = T ( t ) T ' ( t )

Substituindo os valores, nós temos que

N t = - 3 5 sen ⁡ t - 3 5 cos ⁡ t j + 0   k 3 / 5 = - sen ⁡ t i - cos ⁡ t j + 0   k

E para B = T × N

B = i j k 3 5 cos ⁡ t - 3 5 sen ⁡ t 4 5 - sen ⁡ t - cos ⁡ t 0 = i - 3 5 sen ⁡ t 4 5 - cos ⁡ t 0 - i 3 5 cos ⁡ t 4 5 - s en ⁡ t 0 + k 3 5 cos ⁡ t - 3 5 sen ⁡ t - sen ⁡ t - cos ⁡ t

Com isso, nós temos que

B = 4 5 cos ⁡ t i - 4 5 sen ⁡ t j - 3 5 k

Já para o caso de τ , que é um pouquinho mais complicado, já que envolve derivadas, é dada da seguinte forma

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' i j k x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' 2

Substituindo os valores...

x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' = 3 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t 4 - 3 sen ⁡ t - 3   c o s t 0 - 3 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t 0 = 3 cos ⁡ t - 3 cos ⁡ t 0 3 sen ⁡ t 0 + 3 cos ⁡ t - 3 s en ⁡ t 0 - 3 cos ⁡ t 0 + 4 - 3 s en ⁡ t - 3 cos ⁡ t - 3 cos ⁡ t 3 sen ⁡ t

Portanto, nós temos que

x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' = 0 + 0 + 4 - 9 = - 36

Passo 3

Para o caso de v × a

v × a = i j k 3 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t 4 - 3 sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t 0

Logo, temos que

v × a = i - 3 sen ⁡ t 4 - 3   cos ⁡ t 0 - j 3 cos ⁡ t 4 - 3 sen ⁡ t 0 + k 3 cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t - 3   sen ⁡ t - 3 cos ⁡ t

Desenvolvendo os termos

v × a = 12 cos ⁡ t i - 12 sen ⁡ t j - 9   k

Com isso, nós temos que

v × a 2 = 12 2 cos 2 ⁡ t + 12 2 sen 2 ⁡ t + 9 2

Simplificando os termos

v × a 2 = 12 2 + 9 2 = 225

Portanto,

τ = x ' y ' z ' x ' ' y ' ' z ' ' x ' ' ' y ' ' ' z ' ' ' v × a 2 = - 36 225 = - 4 25

Resposta

B = 4 5 cos ⁡ t i - 4 5 sen ⁡ t j - 3 5 k

τ = - 4 25

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