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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.5 - Ex. 26

Torção de uma hélice - Mostre que a torção de uma hélice

r t = a cos ⁡ t i + a sen ⁡ t j + b t k ,     a , b ≥ 0

É τ = b ( a 2 + b 2 ) . Qual é o maior valor que t pode ter para um determinado valor de a? Justifique sua resposta.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como se diz para um certo valor de a , buscaremos o valor de b maximizando τ . Portanto, resolveremos a equação d d b τ = 0 para b para encontrar o maior valor de τ alterando b, como segue

d τ d b = 0

Vamos supor que τ = b ( a 2 + b 2 ) , nós temos que

d d b b a 2 + b 2 = 0

Como estamos derivando em relação a b , temos que

1 a 2 - 1 b 2 = 0 → b 2 - a 2 b 2 a 2 = 0

Logo, temos que

b = ± a → b = a ,     ( 0 < b < a )

Para b = a , o τ m á x é igual a

τ m á x = 1 2 a

Resposta

τ m á x = 1 2 a

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Encontre r t se r ' t = ti + e t j + t e tk e r 0 = i + j + k .
Demonstre a fórmula 3 do Teorema 3. d d t f ( t ) u t = f ' t u t + f t u ' ( t )
Calcule a integral. ∫ 0 1 4 1 + t 2 j + 2 t 1 + t 2k d t
Calcule a integral. ∫ 0 π / 2 3s e n 2 t cos ⁡ ti + 3s e nt cos 2 ⁡ t j + 2s e nt cos ⁡ tk d t
Encontre r t se r ' t = 2 ti + 3 t 2 j + tk e r 1 = i + j .