Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 7

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = s e n ⁡ x 2 + y 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem.

f ( x , y ) = s e n ⁡ x 2 + y 2

Passo 2

Começaremos para função dada encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .Prossiga!

f x = 2 x c o s ⁡ x 2 + y 2 f y = 2 y c o s ⁡ x 2 + y 2 f x x = 2 c o s ⁡ x 2 + y 2 - 4 x 2 s e n ⁡ x 2 + y 2 f x y = - 4 x y s e n ⁡ x 2 + y 2 f y y = 2 c o s ⁡ x 2 + y 2 - 4 y 2 s e n ⁡ x 2 + y 2

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 0 + y ⋅ 0 + 1 2 x 2 ⋅ 2 + 2 x y ⋅ 0 + y 2 ⋅ 2 f ( x , y ) = x 2 + y 2

Passo 3

Para aproximação cúbica precisaremos das seguintes derivadas parciais:

f x x x = - 12 x s e n ⁡ x 2 + y 2 - 8 x 3 c o s ⁡ x 2 + y 2 f x x y = - 4 y s e n ⁡ x 2 + y 2 - 8 x 3 y c o s ⁡ x 2 + y 2 f x y y = - 4 x s e n ⁡ x 2 + y 2 - 8 x y 2 c o s ⁡ x 2 + y 2 f y y = - 12 y s e n ⁡ x 2 + y 2 - 8 x 3 c o s ⁡ x 2 + y 2

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x x y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y y ( 0,0 ) + y 3 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = x 2 + y 2 + 1 6 x 3 ⋅ 0 + 3 x 2 y ⋅ 0 + 3 x y 2 ⋅ 0 + y 3 ⋅ 0 f ( x , y ) = x 2 + y 2

Resposta

Resposta nos passos.

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.ƒ(x, y) = xey
Utilize a fórmula de Taylor para encontrar uma aproximaçãoquadrática de ex sen y na origem. Calcule o erro na aproxima-ção se |x| ≤ 0,1 e |y| ≤ 0,1
Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = c o s ⁡ x 2 + y 2
Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem. f ( x , y ) = e x l n ⁡ ( 1 + y )