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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 5

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

f ( x , y ) = e x l n ⁡ ( 1 + y )

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem, veja:

f ( x , y ) = e x l n ⁡ ( 1 + y ) .

Acompanhe a resolução!

Passo 2

Começaremos pela função dada, encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y .Prossiga!

f x = e x l n ⁡ ( 1 + y ) f y = e x 1 + y f x x = e x l n ⁡ ( 1 + y ) f x y = e x 1 + y f y y = - e x ( 1 + y ) 2

Temos então que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 0 + y ⋅ 1 + 1 2 x 2 ⋅ 0 + 2 x y ⋅ 1 + y 2 ⋅ ( - 1 ) f ( x , y ) = y + 1 2 2 x y - y 2

Passo 3

Para aproximação cúbica, precisaremos das seguintes derivadas parciais, veja:

f x x x   = e x l n ⁡ ( 1 + y ) f x y y   = e x 1 + y f x y y   = - e x ( 1 + y ) 2 f y y   = 2 e x ( 1 + y ) 3

Logo, a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica:

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x y ( 0,0 ) + 3 x y 2 f x y ( 0,0 ) + y 3 f y y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = y + 1 2 2 x y - y 2 + 1 6 x 3 ⋅ 0 + 3 x 2 y ⋅ 1 + 3 x y 2 ⋅ ( - 1 ) + y 3 ⋅ 2 f ( x , y ) = y + 1 2 2 x y - y 2 + 1 6 3 x 2 y - 3 x y 2 + 2 y 3

Resposta

Resposta nos passos.

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