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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.9 - Ex. 1

Nos Exercícios 1-10, utilize a fórmula de Taylor para ƒ(x, y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de ƒ próximas à origem.

ƒ(x, y) = xey

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, usaremos a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem para encontrar as aproximações quadráticas de cúbicas de f perto da origem. Veja a função dada e acompanhe a resolução:

f ( x , y ) = x e y

Passo 2

Começaremos, pela função f ( x , y ) = x e y , encontrando as derivadas parciais f x , f y , f x x , f x y , f y y ⋅ Acompanhe!

f x = e y f y = x e y f x x = 0 f x y = e y f y y = x e y

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação quadrática, observe:

f ( x , y ) ≈ f ( 0,0 ) + x f x ( 0,0 ) + y f y ( 0,0 ) + 1 2 x 2 f x x ( 0,0 ) + 2 x y f x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = 0 + x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + 1 2 x 2 ⋅ 0 + 2 x y ⋅ 1 + y 2 ⋅ 0 f ( x , y ) = x + x y

Agora, para aproximação cúbica, precisaremos das seguintes derivadas parciais:

f x x x = 0 f x y = 0 f x y y = e y f y y = x e y

Temos, então, que a fórmula de Taylor para f ( x , y ) na origem será para a aproximação cúbica

f ( x , y ) ≈  quadrática  + 1 6 x 3 f x x x ( 0,0 ) + 3 x 2 y f x x y ( 0,0 ) + y 2 f y y ( 0,0 ) f ( x , y ) = x + x y + 1 6 x 3 ⋅ 0 + 3 x 2 y ⋅ 0 + 3 x y 2 ⋅ 1 + y 3 ⋅ 0 f ( x , y ) = x + x y + 1 2 x y 2

Resposta

Resposta nos passos.

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