Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.Questões para guiar sua revisão - Ex. 16
O que são teste da comparação direta e teste de comparação no limite? Qual é o raciocínio que esses testes contêm? Dê exemplos de seu uso.
Passo 1
Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?
O teste de comparação direta e os testes de comparação de limite são testes pelos quais comparamos termos da série de convergência desconhecida com uma série com convergência conhecida.
O teste de comparação direta é um teste de termos não negativos. Se é uma série de termos não negativos, podemos obter duas conclusões por comparação direta com outra série, digamos de convergência conhecida:
Se para todo para algum inteiro N e converge, isso significa que converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série são menores que e sabemos que se converge, então converge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de são menores que portanto, eles também constituem uma soma finita. Como tal, deve ser convergente. Estamos essencialmente definindo como um limite superior da soma de do enésimo termo.
Se para todo para algum inteiro N e diverge, isso significa que converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série são maiores que e sabemos que se diverge, então diverge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de são maiores que portanto, eles também constituem uma soma infinita então todos os termos constituem um tal infinito. Como tal, deve ser divergente.
Por exemplo, temos a tarefa de identificar a convergência da série:
Nós não sabemos a convergência desta série completamente. No entanto, sabemos que a série harmônica:
é divergente. Em , sabemos que então a partir do terceiro termo, . Sabemos que a soma infinita da série harmônica é divergente, o que significa que a soma é maior que uma série divergente, implicando também que a série dada também é divergente.
Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!
Resposta
Veja a explicação acima.