O que são teste da comparação direta e teste de comparação no limite? Qual é o raciocínio que esses testes contêm? Dê exemplos de seu uso.

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

O teste de comparação direta e os testes de comparação de limite são testes pelos quais comparamos termos da série de convergência desconhecida com uma série com convergência conhecida.

O teste de comparação direta é um teste de termos não negativos. Se é uma série de termos não negativos, podemos obter duas conclusões por comparação direta com outra série, digamos de convergência conhecida:

Se para todo para algum inteiro N e converge, isso significa que converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série são menores que e sabemos que se ​converge, então converge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de são menores que portanto, eles também constituem uma soma finita. Como tal, deve ser convergente. Estamos essencialmente definindo ​como um limite superior da soma de do enésimo termo.

Se para todo para algum inteiro N e diverge, isso significa que converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série são maiores que e sabemos que se ​diverge, então diverge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de são maiores que portanto, eles também constituem uma soma infinita então todos os termos constituem um tal infinito. Como tal, deve ser divergente.

Por exemplo, temos a tarefa de identificar a convergência da série:

Nós não sabemos a convergência desta série completamente. No entanto, sabemos que a série harmônica:

é divergente. Em , sabemos que então a partir do terceiro termo, . Sabemos que a soma infinita da série harmônica é divergente, o que significa que a soma é maior que uma série divergente, implicando também que a série dada também é divergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!