Enunciado

O que são teste da comparação direta e teste de comparação no limite? Qual é o raciocínio que esses testes contêm? Dê exemplos de seu uso.

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

O teste de comparação direta e os testes de comparação de limite são testes pelos quais comparamos termos da série de convergência desconhecida com uma série com convergência conhecida.

O teste de comparação direta é um teste de termos não negativos. Se ∑ a n é uma série de termos não negativos, podemos obter duas conclusões por comparação direta com outra série, digamos ∑ b n de convergência conhecida:

Se ∑ a n para todo n > N para algum inteiro N e ∑ b n converge, isso significa que ∑ a n converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série ∑ a n são menores que ∑ b n e sabemos que se ∑ b n ​converge, então ∑ a n converge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de ∑ a n são menores que ∑ b n portanto, eles também constituem uma soma finita. Como tal, ∑ a n deve ser convergente. Estamos essencialmente definindo ∑ b n ​como um limite superior da soma de ∑ a n do enésimo termo.

Se ∑ a n para todo n > N para algum inteiro N e ∑ b n diverge, isso significa que ∑ a n converge. Isso significa que, a partir de algum ponto, digamos o enésimo termo, todos os termos da série ∑ a n são maiores que ∑ b n e sabemos que se ∑ b n ​diverge, então ∑ a n diverge. Os primeiros N termos constituem uma soma finita e os termos restantes de ∑ a n são maiores que ∑ b n portanto, eles também constituem uma soma infinita então todos os termos constituem um tal infinito. Como tal, ∑ a n deve ser divergente.

Por exemplo, temos a tarefa de identificar a convergência da série:

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n n

Nós não sabemos a convergência desta série completamente. No entanto, sabemos que a série harmônica:

∑ n = 1 ∞ 1 n

é divergente. Em n > 2 = N , sabemos que l n   n > 1 então a partir do terceiro termo, ln ⁡ n n > 1 n . Sabemos que a soma infinita da série harmônica é divergente, o que significa que a soma é maior que uma série divergente, implicando também que a série dada também é divergente.

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

Veja a explicação acima.

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