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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.5 - Ex. 38

Nos Exercícios 17-44, utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge. Justifique suas respostas.

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos esse exercício, vamos usar o Teste da Razão. Antes, vamos relembrar aqui rapidinho como é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Pelo valor de L , teremos:

s e   0 ≤ L < 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   c o n v e r g e

s e   L > 1   ,   e n t ã o   ∑ n = 1 ∞ a n   d i v e r g e

s e   L = 0   ,   e n t ã o   n ã o   p o d e m o s   d i z e r   n a d a

Show, vamos pro exercício agora:

∑ n = 1 ∞ n ! n n

Vamos assumir que

a n = n ! n n

Logo:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 n ! n n = lim n → ∞ ⁡ ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 × n n n !

Lembrando que

( n + 1 ) n + 1 = ( n + 1 ) n ( n + 1 ) 1

n + 1 ! = n + 1 n !

Substituindo:

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n ! ( n + 1 ) n ( n + 1 ) 1 × n n n ! = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n

Aplicando o valor que n tende:

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n = 1 e

Portanto, podemos concluir que a nossa série converge.

Resposta

C o n v e r g e .

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 5 n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 0 ∞ 2 n ! n ! 2
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 100 100 n n !
Seja {bn} uma sequência de números positivos que converge para . Determine se a série dada é absolutamente convergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! n n b 1 b 2 b 3 … b n
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n n 2 + 4