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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 34

Seja {bn} uma sequência de números positivos que converge para . Determine se a série dada é absolutamente convergente.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! n n b 1 b 2 b 3 … b n

Passo 1

Note que temos um fatorial ali na nossa série.

Então vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Passo 2

Nós vamos, agora, aplicar o teste da razão, note que temos:

a n = - 1 n n ! n n b 1 b 2 b 3 … b n

E

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 b 1 b 2 b 3 … b n b n + 1

Então:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( n + 1 ) ! ( n + 1 ) n + 1 b 1 b 2 b 3 … b n b n + 1 ⋅ n n b 1 b 2 b 3 … b n - 1 n n !

Temos que prestar bastante atenção com esses terminhos, mas note que conseguimos elimar a maioria e ficamos com:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 n n ( n + 1 ) n + 1 b n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n n b n + 1   n + 1 n

Podemos ficar com uma expressãozinha melhor, então fazemos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ 1 b n + 1   n n + 1 n = l i m n → ∞ 1 b n + 1   n n + 1 / n n = l i m n → ∞ 1 b n + 1   1 + 1 n n

O limite fundamental do calculo nos diz que:

l i m n → ∞ 1 + 1 n n = e

Então,

l i m n → ∞ 1 b n + 1   1 + 1 n n = 1 1 2 e = 2 e

Passo 3

Como:

2 e < 1

Então, a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ! n n b 1 b 2 b 3 … b n

É bsolutamente convergente pelo teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. ∑ n = 1 ∞ n 5 n