Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 24
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
E aí, pessoal? Tudo certo?
Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, sempre vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas. Vamos relembrar o Teste da Razão:
Calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente
- o teste é inconclusivo.
Temos que:
E para sabermos basta somarmos um a todos os de :
Vamos lá!
Passo 2
Agora, vamos colocar nossas informações na equação do teste da razão:
Note que podemos organizar essa expressão para resolvermos com mais facilidade. Resolvendo a divisão de frações acima, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da fração que divide:
Expandindo os termos fatoriais, teremos:
Viu como nossos termos com fatorial tem termos iguais os dividindo? Então simplificamos e nos “livramos” desses termos.
Agora podemos dividir numerador e denominador por , assim a gente fica com termos dependentes de que são bem mais fáceis de analisar.
Agora podemos de fato resolver o limite. As frações com no denominador ficam muito pequenas e tendem a zero conforme cresce, então:
Passo 3
Como:
Então, a série
é divergente pelo teste da razão.
Resposta
Divergente.