Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.6 - Ex. 3
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
Alô, pessoal! Como estão?
Precisamos analisar a convergência ou divergência de:
Um teste que nos permite encontrar se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente é o Teste da Razão, que também é muito útil para aplicar em séries com potências de .
No Teste da Razão calculamos o limite:
Se:
- a série é absolutamente convergente (e, portanto, convergente).
- a série é divergente
- o teste é inconclusivo.
Temos que:
E para sabermos basta somarmos um a todos os de :
Bora calcular nosso limite!
Passo 2
Agora, vamos colocar nossas informações na equação do teste da razão:
Note que podemos organizar essa expressão para resolvermos com mais facilidade. Resolvendo a divisão de frações acima, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da fração que divide:
Usando a propriedade da potenciação:
Agora que temos no numerador e denominador, esses termos se cancelam e ficamos com:
Passo 3
Agora podemos dividir numerador e denominador por , assim a gente fica com termos dependentes de que são bem mais fáceis de analisar.
Finalmente, resolvendo nosso limite:
Passo 4
Como:
Então, a série
é absolutamente convergente pelo teste da razão.
Resposta
Absolutamente convergente.