Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

Eae galera! Vamos relembrar alguns conceitos importantes.

Eu preciso de sua total atenção agora.

Uma série convergente é uma série em que seus termos “caminham” para uma direção específica. Ou seja, para algum valor fixo.

Dito isso, temos que entender que uma série absolutamente convergente é uma série em que todos os seus termos foram colocados em módulo (ou seja, estamos preocupados apenas com os valores absolutos de seus termos) e mesmo assim essa série aponta para um valor fixo.

Aqui vale a pena citar um teorema importante.

“Toda série absolutamente convergente é convergente”.

Cuidado!!! Pois existem série que são convergentes, mas que não são absolutamente convergentes. Essas séries são chamadas de condicionalmente convergentes.

Faltou explicarmos as séries divergentes.

As séries divergentes, meu caro amigo, nada mais são que, série que não apontam para valor nenhum. Não é possível definir a direção que os termos estão “caminhando”.

Agora, para definir qual a situação da série do exercício podemos utilizar o teste da razão.

Porque o teste da razão?

Note que temos um fatorial na nossa série. Sempre que temos um fatorial no denominador ou no numerador, vamos usar o teste da razão, facilitará nossas continhas:

E o que diz o teste da razão sobre a convergência das séries?

O teste da razão diz o seguinte:

1. Uma série é absolutamente convergente, (toda série absolutamente convergente é convergente) se
2. Se a série é divergente.

Você deve estar se perguntando: “E se o limite for exatamente igual a ?” Bom... nesse caso meu amigo, não podemos dizer nada sobre a convergência da série, e somos obrigados a escolher outro método.

Então:

Temos que:

E para sabermos basta somarmos a todos os de :