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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 42

Nos Exercícios 41-48, utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a soma da série como uma função de x.

∑ n = 0 ∞ e x - 4 n

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de séries de potências!

Da nossa definição de limite para séries:

lim n → ∞ ⁡ u n + 1 u n < 1

Ou:

l i m n → ∞ e x - 4 n + 1 e x - 4 n < 1

Passo 2

Desenvolvendo matematicamente, chegamos em:

e x - 4 lim n → ∞ ⁡ 1 < 1

Ou seja:

e x - 4 < 1

O que resulta no seguinte intervalo:

3 < e x < 5

Equivalente a:

ln ⁡ 3 < x < ln ⁡ 5

Passo 3

Logo, quando x = ln ⁡ 3 , temos:

∑ n = 0 ∞ e ln ⁡ 3 - 4 n = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n → s é r i e   d i v e r g e n t e  

E quando x = ln ⁡ 5 , temos:

∑ n = 0 ∞ e ln ⁡ 5 - 4 n = ∑ n = 0 ∞ 1 → s é r i e   d i v e r g e n t e  

Resposta

A série é geométrica convergente quando está no intervalo ln ⁡ 3 < x < ln ⁡ 5 e a soma é

1 1 - ( e x - 4 ) = 1 5 - e x

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