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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 9

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = x y + y 2 i + ( x - y ) j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5, página 398 , definimos circulação em sentido anti-horário de F ‾ ao redor do caminho C como sendo

∮     C F ‾ ⋅ T ‾ d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F ‾ através de C como sendo a integral dupla do div F ‾ sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F ‾ ⋅ n → d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y . 

Passo 2

Acompanhe! Sendo o campo vetorial F → = x y + y 2 i → + ( x - y ) j → atuando sobre a região limitada por C : y = x 2 , x = y 2 , com 0 ≤ x ≤ 1 , x 2 ≤ y ≤ x Em seguida, você vai encontrar M e N : M = x y + y 2 e N = x - y Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = y , ∂ M ∂ y = x + 2 y e ∂ N ∂ x = 1 , ∂ N ∂ y = - 1

Passo 3

Dessa forma, para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 1 e ∂ M ∂ y = x + 2 y em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬   [ 1 - ( x + 2 y ) ] d y d x = ∫ 0 1     ∫ x 2 x     ( 1 - x - 2 y ) d y d x =   = ∫ 0 1     x - x 3 / 2 - x - x 2 + x 3 + x 4 d x = - 7 60

Passo 4

Dessa forma, para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = y e ∂ N ∂ y = - 1 em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     [ y + ( - 1 ) ] d x d y = ∫ 0 1     ∫ x 2 x     ( y - 1 ) d y d x = ∫ 0 1     1 2 x - x - 1 2 x 4 + x 2 d x =   = - 11 60

Resposta

Resposta nos passos.

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Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Use o teorema de Green para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.) F → x , y = y cos ⁡ x - x y sin ⁡ x i → + x y + x cos ⁡ x j → Onde, C é o triangulo
Calcule a integral de linha por dois métodos: (a) diretamente e (b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . y d x - x d y C é uma circunferência com centro na origem e r a i o = 4 .
Calcule a integral de linha por dois métodos:(b) utilizando o Teorema de Green. ∮ C . x y d x + x 2 y 3 d y C é um triângulo com os vértices em 0,0 , 1,0 e ( 1,2 ) .
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. ∫ C y e x d x + 2 e x d y C é um retângulo com os vértices 0,0 , 3,0 , 3,4e( 0,4 ) .