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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 3

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r = ( a c o s ⁡ t ) i + ( a s e n ⁡ t ) j , 0 ≤ t ≤ 2 π .

F = 2 x i - 3 y j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para esta questão, você deve verificar o teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 (página 397) e 4 (página 398) para o campo F → = M i → + N j → . Tomando os domínios de integração como sendo o disco R : x 2 + y 2 ≤ a 2 e sua circunferência de fronteira C : r → = ( a c o s ⁡ t ) i → + ( asent ) j → ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Passo 2

Observe! Sendo F → = 2 x i → - 3 y j ‾ Calculando F → ( r → ( t ) ) e diferenciando os componentes, temos: M = 2 x = 2 a c o s ⁡ t e o diferencial d x = d ( a c o s ⁡ t ) = - asentdt N = - 3 y = - 3 asent e o diferencial d y = d ( asent ) = a c o s ⁡ t d t ∂ M ∂ x = 2 , ∂ M ∂ y = 0   ∂ N ∂ x = 0 , ∂ N ∂ y = - 3

Passo 3

Você vai descobrir que os dois lados da equação 3 são:

∮     C M d y - N d x = ∫ 0 2 π     [ ( 2 a c o s ⁡ t ) ( a c o s ⁡ t ) + ( 3 a s e n ⁡ t ) ( - a s e n ⁡ t ) ] d t = ∫ 0 2 π     2 a 2 c o s 2 ⁡ t - 3 a 2 s e n 2 ⁡ t   = 2 a 2 t 2 + s e n ⁡ 2 t 4 0 2 π - 3 a 2 t 2 - s e n ⁡ 2 t 4 0 2 π = 2 π a 2 - 3 π a 2 = - π a 2   ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     ( 2 + ( - 3 ) ) d x d y = ∬ R     - 1 d x d y = ∫ 0 2 π     ∫ 0 a     - r d r d θ = ∫ 0 2 π     - a 2 2 d θ = - π a 2

Passo 4

Você vai descobrir que os dois lados da equação 4 são:

∮     C M d x + N d y = ∫ 0 2 π     [ ( 2 a c o s ⁡ t ) ( - a s e n ⁡ t ) + ( - 3 a s e n ⁡ t ) ( a c o s ⁡ t ) ] d t =   = ∫ 0 2 π     - 2 a 2 s e n ⁡ t c o s ⁡ t - 3 a 2 s e n ⁡ t c o s ⁡ t d t = - 5 a 2 1 2 s e n 2 ⁡ t 0 2 π = 0   ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     ( 0 - 0 ) d x d y = 0

Resposta

Resposta nos passos.

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2 ) Calcule a área da região limitada pela curva x = t - sen t, y = 1 - cos t, 0≤ t ≤ 2π, e pelo eixo 0x
5) Calcule ∮ γ Fd γ onde F x , y = 4 x 3 y 3 i + 3 x 4 y 2 + 5 x j e γ é a fronteira do quadradro de vértices (-1,0), (0,-1), (1,0),(0,1)
9) Calcule a área da região limitada pela reta y = x e pela curva x=t 3+t e y=t 5+t , com 0 ≤ t ≤ 1. Desenhe a região.
1 ) Sejam γ e K como no teorema de Green. Prove que área de k =∮ γ xd y
4 ) Calcule ∮ γ Fd γ onde γ é uma curva fechada, simples, C 1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e Fx , y= 2 x + y i + 3 x - y j