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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 12

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = x 1 + y 2 i + tg - 1 ⁡ y j

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Definimos circulação em sentido anti-horário de F ‾ ao redor do caminho C como sendo ∮   C F ‾ ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 5, página 398) e o fluxo exterior de F → = M i ‾ + N j ‾ através de C como sendo a integral dupla do divF sobre a região R delimitada por C , ∮   C F ‾ ⋅ n → d s = ∮   C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y (de acordo com o teorema 4, página 397).

Passo 2

Sendo o campo vetorial F → = x 1 + y 2 i → + t a n - 1 ⁡ y j → atuando sobre a região limitada por C : x 2 + y 2 = 1 , com - 1 ≤ x ≤ 1 , x 2 - 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 - x 2 Encontremos M e N : M = x 1 + y 2 e N = t a n - 1 ⁡ y Suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = 1 1 + y 2 , ∂ M ∂ y = - 2 x y 1 + y 2 2 e ∂ N ∂ x = 0 , ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2

Passo 3

Para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituímos ∂ N ∂ x = 0 e ∂ M ∂ y = - 2 x y 1 + y 2 2 em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y = ∬ R     0 - - 2 x y 1 + y 2 2 d y d x   = ∫ - 1 1     ∫ - 1 - y 2 1 - y 2     2 x y 1 + y 2 2 d y d x = ∫ - 1 1     0 d x = 0

Passo 4

Obs.: Podemos resolver a integral ∫ - 1 - y 2 1 - y 2   2 x y 1 + y 2 2 d y por substituição, como segue:

  ∫ - 1 - y 2 1 - y 2     2 x y 1 + y 2 2 d y = ∫   x u 2 d u = x - 1 u = x - 1 1 + y 2 - 1 - y 2 1 - y 2 = x - 1 1 + 1 - y 2 2 - x - 1 1 + - 1 - y 2 2 = - x 1 + 1 - y 2 + x 1 + 1 - y 2 = 0

Passo 5

Para calcularmos o fluxo exterior substituímos ∂ M ∂ x = 1 1 + y 2 e ∂ N ∂ y = 1 1 + y 2 e m ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue:

  ∬ R     ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R     1 1 + y 2 + 1 1 + y 2 d x d y   = ∫ - 1 1     ∫ - 1 - y 2 1 - y 2     2 1 + y 2 d y d x = ∫ - 1 1     4 1 - y 2 1 + y 2 d x = 4 π 2 - 4 π

Resposta

Assim, a circulação de F → através de C é zero e o fluxo exterior de F → através de C é 4 π 2 - 4 π .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.a. ∮ C y 2 d x + x 2 d y C é a fronteira do quadrado D = - 1,1 × - 1,1
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.b. ∮ C 3 x 2 + y d x + 4 y 2 d y C é a fronteira do triangulo de vértices. 0,0 , 1,0 , 0,2
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.c. ∮ C e x - 3 y d x + e y - 6 x d y C é a elipse de equação x 2 + 4 y 2 = 1
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.e. ∮ C 2 x y - x 2 d x + x - y 2 d y C é a fronteira da região limitada por y = x 2 y 2 = x
Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C , orientadas positivamente.d. ∮ C x - 1 e y d x + e y ln ⁡ x + 2 x d y C é a região limitada por x = y 4 + 1 x = 2