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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.4 - Ex. 7

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.

F = (y2 – x2)i + (x2 + y2)j

C: O triângulo limitado por y = 0, x = 3 e y = x

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para resolver este exercício é importante saber duas definições. Veja a seguir.De acordo com o teorema 5, página 398, definimos circulação em sentido anti-horário de F → ao redor do caminho C como sendo

∮     C F → ⋅ T → d s = ∮     C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y

De acordo com o teorema 4, página 397, definimos fluxo exterior de F → através de C como sendo a integral dupla do d i v ⁡ F → sobre a região R delimitada por C ,

∮     C F → ⋅ n → d s = ∮     C M d y - N d x = ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y

Passo 2

Grave isso! Sendo o campo vetorial F → = y 2 - x 2 i → + x 2 + y 2 j → atuando sobre a região limitada por C : y = 0 , x = 3 , y = x ,Agora, você vai encontrar M e N : M = y 2 - x 2 e N = x 2 + y 2 Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ x = - 2 x , ∂ M ∂ y = 2 y e ∂ N ∂ x = 2 x , ∂ N ∂ y = 2 y

Passo 3

Dessa forma, para calcularmos a circulação no sentido anti-horário substituimos ∂ N ∂ x = 2 x e ∂ M ∂ y = 2 y em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y e resolvemos a integral dupla, como segue:

∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x x y = ∬ R   [ 2 x - 2 y ] d x d y = ∫ 0 3   ∫ 0 x   ( 2 x - 2 y ) d x d y = ∫ 0 3   x 2 d x = 9

Passo 4

Dessa forma, para calcularmos o fluxo exterior substituimos ∂ M ∂ x = - 2 x e ∂ N ∂ y = 2 y em ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y e resolvemos a integral dupla, como segue: ∬ R   ∂ M ∂ x + ∂ N ∂ y d x d y = ∬ R   [ - 2 x + 2 y ] d x d y = ∫ 0 3   ∫ 0 x   ( - 2 x + 2 y ) d x d y = ∫ 0 3   - 2 x 2 + 2 x 2 d x = = - 1 3 x 3 0 3 = - 9

Resposta

Resposta nos passos.

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Seja F x , y = - y x 2 + y 2 , x x 2 + y 2 + 3 x um campo vetorial em R 2 . Calcule a integral de linha do campo F ao longo das curvas C 1 e C 2 , orientadas no sentido anti-horário, onde: C 1 é a cir
b) Use a) para calcular a área da região limitada pelo eixo y , pelas retas y = 1 ,y = 3 e pela curva x = y 2 .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .
Utilize a formula da área do teorema de Green no Exercicio abaixo para encontrar a áreas da região delimitada pela curva .