Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-

cios 21-24

∮_C (2x + y^2) dx + (2xy + 3y) dy

C: Qualquer curva fechada simples no plano para o qual o teorema de Green é válido.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício você deve aplicar o teorema de Green ∮   C F → ⋅ T → d s = ∮   C M d x + N d y = ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y para calcular a integral ∮   C 2 x + y 2 d x + ( 2 x y + 3 y ) d y , onde C corresponde a qualquer curva fechada simples noplano para o qual o teorema de Green é válido.

Passo 2

Inicialmente você vai definir M e N : M = 2 x + y 2 , N = 2 x y + 3 y .Assim, suas derivadas parciais serão: ∂ M ∂ y = 2 y , ∂ N ∂ x = 2 y

Passo 3

Dessa forma, para calcular a integral usando o teorema de Green devemos substituir os valores de ∂ M ∂ y e ∂ N ∂ x em ∬ R   ∂ N ∂ x - ∂ M ∂ y d x d y e resolver a integral dupla, como segue:

∮     C 2 x + y 2 d x + ( 2 x y + 3 y ) d y = ∬ R   [ 2 y - 2 y ] d x d y = 0

Resposta

Assim, você vai descobrir o resultado correto: a integral de F ‾ ao longo de C é zero.

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