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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 40

Determine a derivada no Exercício d d x ∫ 1 s e n x 3 ⁡ t 2   d t

a. calculando a integral e derivando o resultado.

b. derivando a integral diretamente.

Passo 1

A questão nos pede que calculemos a derivada de uma integral definida por dois modos:

  1. Primeiro integrando e depois derivando
  2. Derivando direto, para isso é preciso lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo em que d d x ∫ a b f ( x ) ⁡ d x = f b . ( b ) '

Passo 2

Vamos resolver primeiro a letra “a” e resolver primeiro a integral:

∫ 1 s e n   x 3 ⁡ t 2   d t = 3 . t 3 3 1 s e n   x

= t 3 1 s e n   x

= s e n 3   x - 1 3

= s e n 3   x - 1

Em seguida derivamos:

d d x s e n 3   x - 1 = d d x s e n 3   x - d d x   1

= d d x s e n 3   x - 0

= d d x s e n 3   x

usando a regra da cadeia:

sendo   u   =   s e n   x

= d d x u 3   . d d x s e n   x

= 3 . u 2 . cos ⁡ x

= 3 . s e n 2 x   . cos ⁡ x

Passo 3

Agora iremos derivar direto usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

d d x ∫ 1 s e n   x 3 ⁡ t 2   d t = 3 . s e n 2   x . s e n   x '

= 3 . s e n 2   x . cos ⁡ x

Resposta

d d x ∫ 1 s e n x 3 ⁡ t 2   d t = 3 . s e n 2   x . cos ⁡ x

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