Existe um campo vetorial G em R^3 tal que r o t G = x y^2 i + y z^2 j + z x^2 k ? Explique.

Passo 1

O que queremos checar nessa questão é se existe alguma função cujo rotacional é o campo vetorial dado.

Isto é, queremos descobrir se existe alguma função F (que seria a própria G ) tal que F = r o t G . Para descobrirmos se isto é possível, precisamos utilizar um teorema que nos afirma que, se

d i v (r o t G) = 0

Então existe essa função F = G . Portanto, precisamos obter somente o divergente da nossa função rotacional. Se for nulo, então existe G . Caso seja diferente de 0, não existe.

Vamos então as contas!

Passo 2

Precisamos calcular o divergente da nossa função. Para isto, lembramos que, se F = P i + Q j + R k , então,

d i v F = (del P)/(del x) + (del Q)/(del y) + (del R)/(del z)

Portanto, vamos calcular as derivadas parciais do nosso rotacional. Temos então:

(del P)/(del x) = y^2

(del Q)/(del y) = z^2

(del R)/(del z) = x^2

Portanto,

d i v F = d i v (r o t G) = x^2 + y^2 + z^2

E como d i v F != 0 , não existe nenhum campo vetorial G tal que o seu rotacional é dado pela equação da questão!

Resposta

Não existe função G .

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