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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 16.3 - Ex. 8

Determine se F → é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F → = ∇ f

F → x , y = x y cos ⁡ x y + s e n   x y i → + x 2 c o s   x y j →

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Primeiro de tudo, vamos verificar que esse campo é conservativo. Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ x y cos ⁡ x y + s e n   x y ∂ y = x c o s x y - x 2 y s e n x y + x c o s x y = 2 x c o s x y - x 2 s e n ⁡ ( x y )

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ x 2 c o s   x y ∂ x = 2 x . cos ⁡ x y - x 2 y s e n ( x y )

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ y e integrar em relação à y :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( x y cos ⁡ x y + s e n   x y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x y s e n x y y + cos ⁡ x y y - cos ⁡ x y y + g ( y )

A primeira integral fiz por partes e a segunda foi por integração direta. Simplificando temos:

f = x s e n x y + g ( y )

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = x 2 c o s x y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = x 2 c o s   x y

E agora vamos igualar os dois lados!

x 2 c o s x y = x 2 c o s x y + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x s e n x y + C

Resposta

f = x s e n x y + C

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A partir do gráfico de F você diria que o campo é conservativo? Explique.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x ≠ 0 }
Se F x , y = sen ⁡ y i + ( 1 + x cos ⁡ y ) j , use um gráfico para conjecturar se F é conservativo. Então, determine se sua conjectura estava correta.
Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b) conexo e (c) simplesmente conexo. { ( x , y ) | x0 , y0 }
Seja F = ∇ f , onde f x , y = sen ⁡ ( x - 2 y ) . Determine curvas C 1 e C 2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação. ∫ C 1 F ⋅ d r = 0 (b) ∫ C 2 F ⋅ d r = 1