Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 13.3 - Ex. 46
Existe um ponto da curva do exercício 45 onde o plano osculador é paralelo ao plano ?
Passo 1
Oie, meu amigo. Vamos resolver essa atividade?!
Voltando ao exercício , devemos responder a pergunta sobre a existência de um ponto da curva do exercício onde o seu plano osculador ser paralelo ou não ao plano:
O exercício 45 nos dá a curva , então para encontrar um plano osculador precisamos primeiro calcular quem é o vetor tangente e depois o vetor normal.
Para calcular o vetor tangente utilizamos a equação:
Para calcular o vetor normal utilizamos a equação:
Dois planos são paralelos quando seus vetores normais são paralelos, enquanto o vetor binormal do plano oscilante correspondente à curva pode ser derivado usando a seguinte fórmula:
Os dois vetores normais são paralelos quando são proporcionais. Então iremos comparar se o binormal da curva do exercício é proporcional ao vetor normal da curva:
Passo 2
Para calcular o vetor tangente precisamos da derivada da curva do exercício 45, vamos chamá-la de .
Desta forma o vetor tangente é:
Agora para calcularmos o vetor normal, iremos precisar da derivada do vetor tangente:
Precisaremos utilizar a regra do quociente aqui para derivar:
Passo 3
Precisamos agora calcular o modulo dessa monstruosidade:
Agora iremos encontrar
Pensa que acabou? Agora é hora de encontrarmos o vetor binormal:
Um vetor normal ao plano pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis da equação do plano:
Podemos dizer que vetores são paralelos quando eles são proporcionais. Desde que , precisamos que para uma constante qualquer.
Isso faz com que todos os componentes de devam ser iguais.
Veja que a única forma disso acontecer é para , porém isso não é um vetor, sendo assim não temos um plano paralelo ao que nos foi pedido.
Resposta
Não existe.