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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 2.5 - Ex. 20

Explique por que a função é descontínua no número dado, esboce o gráfico da função.

f x = 1 + x 2 ,         s e   x < 1 4 - x ,       s e   x ≥ 1                                                       a = 1

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a função:

f x = 1 + x 2 ,         s e   x < 1 4 - x ,       s e   x ≥ 1                                                      

E pede pra a gente explicar por que ela é descontínua em x = 1 . Para verificar se a função é contínua ou não, duas condições devem ser satisfeitas:

- o limite deve existir naquele ponto, ou seja, os limites laterais, naquele ponto, devem ser iguais:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x

- o limite naquele ponto deve ter o mesmo valor que a função:

lim x → 1 ⁡ f x = f x

Depois vamos esboçar o gráfico da função. Repara que temos uma função definida por partes. Isso quer dizer que em cada parte que é diferente o gráfico vai ter uma carinha diferente.

Passo 2

Sendo assim, vamos calcular os limites laterais fazendo

lim x → 1 - ⁡ f x = l i m x → 1 -   1 + x 2

= 1 + 1 2

= 2

l i m x → 1 + f x = l i m x → 1 + 4 - x

= 4 - 1

= 3

Como o limite bilateral não existe, nossa função já não atende ao critério de continuidade do limite existir para esse ponto.

Passo 3

Para esboçar o gráfico, repara que para valores de x < 1 a carinha da função vai ser f x = 1 + x 2 e para valores de x ≥ a carinha vai ser f x = 4 - x :

Prontinho!

Resposta

  1. Demonstração

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