Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.5 - Ex. 46
Encontre os valores de e que tornam a função contínua em toda a parte.
Passo 1
Opa, bora resolver essa questão! Aqui temos uma função que é definida por 3 condições:
Como queremos os valores de e para que esta função seja contínua em toda a parte, precisamos verificar algumas coisas:
Os limites laterais, no valor de que a função muda, precisam ser iguais pra função ser contínua. Além de que o limite da função no ponto analisado precisa ser igual a função no ponto analisado.
Vai ficar mais fácil de visualizar conforme a gente for fazendo!
Passo 2
Podemos começar pensando que uma das necessidades para esta função ser contínua é:
Assim, analisaremos as funções que atuam pela esquerda ( um pouco menor) e pela a direita ( um pouco maior) de . Vamos começar a verificação, para isso usaremos a função
para calcular o limite lateral a esquerda.
Então:
Fatorando:
Agora simplificando:
O limite pelo lado direito de deve ser o mesmo. Então:
Sendo assim, temos essa primeira condição pra que os dois limites sejam iguais:
Ainda não podemos calcular e . Então bora analisar outro ponto, pra gente conseguir montar um sistema.
Passo 3
Repare que no entorno de , para que a função seja contínua também nesta região é necessário que
Vamos precisar analisar de novo o limite pela esquerda e pela direita. Pela esquerda:
Pela direita:
Como precisamos que o limite pela direita e o limite pela esquerda sejam iguais:
Passo 4
Agora, para encontrar o valor de e , só precisamos resolver o sistema formado pelas equações e .
Vamos então resolver o sistema!
Pela equação (i), podemos escrever que
Substituindo a equação , temos
Resolvendo esta equação encontramos
Substituindo a equação , temos
Para que a função seja contínua precisamos que: