Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 0.1 - Ex. 35
(i) Explique por que a função f tem um ou mais buracos em seu gráfico e estabeleça os valores de x nos quais esses buracos ocorrem. (ii) Determine uma função g cujo gráfico seja idêntico ao de f, mas sem os buracos.
(35)
Passo 1
(i) Primeiro, vamos entender o que são esses buracos que o enunciado fala.
Esses buracos são os lugares onde a função não está definida, ou seja, onde a imagem não está definida. Isso acontece, geralmente, graças a valores de onde vamos ter divisões por ou raiz quadrada de número negativo.
No nosso caso ali, temos . Como não temos uma raiz nessa função, os buracos vão existir se houver alguma divisão por , ou seja, se:
.
Olhando para a equação, podemos ver que ela será quando ou .
É tranquilo de ver isso, pois ela já está na forma fatorada: , onde e são as raízes da equação.
Beleza! Então já resolvemos o primeiro item!
Passo 2
(ii) Para determinar a função com o gráfico idêntico, mas sem buracos, é simples: vamos apenas simplificar alguns termos da função original! Então:
Podemos simplificar o :
Ainda teria um buraco em , mas podemos abrir , já que é o produto notável da soma pela diferença:
Assim, vamos simplificar :
Agora, não temos buracos!! O gráfico dela é:
Resposta
(i) ou
(ii)