Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 1.4 - Ex. 30

Determine uma janela de visualização apropriada para a função dada e a utilize para exibir o gráfico da função:

Passo 1

Esta é uma questão que necessita de recursos tecnológicos para ser resolvida. Sendo assim, utilizaremos de softwares para obtermos o gráfico da função. Entretanto, antes de colocarmos a “mão na massa”, é necessário discutir o que é uma janela de visualização apropriada. Com estas palavras, a questão pede que, dentro de uma janela, todas as propriedades de uma função estejam nelas, isto é: mudanças de concavidade ou de crescimento/decrescimento; se existe algum máximo/mínimo local; comportamento quando ela vai para o valor de vai para o infinito; etc.

Vamos exemplificar essa teoria, e para isto tome a função periódica . Basta obtermos uma janela com o eixo variando entre e o eixo variando entre que conseguimos esboçar todo o comportamento da nossa função.

Sendo assim, a nossa análise inicial consistirá em obter duas janelas de visualização: uma grande (amplitude da variação de alta) e uma pequena. A partir destas duas janelas, será discutido as propriedades da função e ajustes serão feitos na janela para assim obtermos uma janela apropriada e o gráfico final da função.

Passo 2

Esta função é obtida a partir da soma de uma parábola com uma função cosseno. Sendo assim, apresentará características de ambas. Para grandes aumentos de , predomina-se o comportamento da parábola. Já para pequenos aumentos, predomina-se o comportamento oscilatório da função cosseno. Os valores de que regem o predomínio do comportamento oscilatório está relacionado ao período da função, o qual é dado por:

Desta forma, vejamos então as duas janelas iniciais:

O gráfico da esquerda (a) e o da direita (b) são as de janela grande e pequena respectivamente. Observando a de janela grande é possível observar o comportamento da parábola da função. Entretanto, não é possível observar o comportamento oscilatório.

Já ao observarmos o gráfico (b) temos o comportamento inverso. Observa-se a oscilação da função, mas não é observado o comportamento da parábola.

Sendo assim, a janela final deve conter as propriedades discutidas no gráfico (a) e (b).

Passo 3

Vamos agora obter um novo gráfico e observar se é possível visualizar tudo que foi discutido anteriormente. Portanto, temos:

O gráfico assim, cuja janela é por apresenta todas as propriedades discutidas no passo 2. Logo, é uma janela de visualização apropriada para a nossa função.