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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 73

Explique a relação entre a regra do produto para derivadas e a técnica de integração por partes.

Passo 1

Se temos uma função composta pelo produto de duas funções f ( x ) e g ( x ) , sendo essas funções diferenciáveis, assim:

f x . g x

A diferencial dessa função, será:

d d x f x . g x = f x g ' x + g x f ' ( x )

Integrando a função de ambos os lados, temos:

∫ d d x f x . g x d x + C = ∫ f x g ' x + g x f ' ( x ) + C

Pode ser lido como:

f x g x + C = ∫ f x g ' x d x + ∫ g x f ' x d x

Reorganizando, pode ser reescrito como:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x d x + C

Se chamarmos :

u = f x

d u = f ' x d x

v = g x

d v = g ' x d x

Substituindo na função, ficamos com:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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