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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 45

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

45 .   ∫ c o t g 2   3 x ⋅ c o s s e c 4   3 x   d x

Passo 1

Para começarmos a resolver essa integral, vamos realizar uma substituição só pra ficar melhor nossa visualização.

u = 3 x

d u = 3   d x ⇒ d u 3 = d x

Então nossa integral fica da seguinte forma:

  ∫ c o t g 2   3 x ⋅ c o s s e c 4   3 x   d x = 1 3 ∫ c o t g 2   u ⋅ c o s s e c 4   u   d u

Passo 2

Agora para continuarmos a resolver, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que vai ser útil para melhorar a cara dessa integral.

c o s s e c 2 x = 1 + c o t g 2 x

Aplicando – a na integral, temos:

1 3 ∫ c o t g 2   u ⋅ c o s s e c 4   u   d u = 1 3 ∫ c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u

= 1 3 ∫ c o t g 2 u ⋅ ( 1 + c o t g 2 u ) ⋅ c o s s e c 2 u   d u

= 1 3 ∫ ( c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u + c o t g 4 u ⋅ c o s s e c 2 u )

= 1 3 ∫ c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u + ∫ c o t g 4 u ⋅ c o s s e c 2   u   d u

Nos próximos passos vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos começar com:

∫ c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u

Para resolvê-la, vamos fazer a seguinte substituição:

v = c o t g   u

d v = - c o s s e c 2 u   d u ⇒ - d v = c o s s e c 2 u

Nossa integral fica:

∫ c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u = - ∫ v 2 d v

= - v 3 3

Voltando a troca de variável.

- v 3 3 = - c o t g 3 u 3

Passo 4

Agora vamos resolver:

∫ c o t g 4 u ⋅ c o s s e c 2   u   d u

Para resolvê-la, vamos fazer a seguinte substituição:

v = c o t g   u

d v = - c o s s e c 2 u   d u ⇒ - d v = c o s s e c 2 u

Nossa integral fica:

∫ c o t g 4 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u = - ∫ v 4 d v

= - v 5 5

Voltando a troca de variável.

- v 5 5 = - c o t g 5 u 5

Passo 5

Substituindo os valores encontrados no que tínhamos obtido no passo 2:

1 3 ∫ c o t g 2 u ⋅ c o s s e c 2 u   d u + ∫ c o t g 4 u ⋅ c o s s e c 2   u   d u = 1 3 - c o t g 3 u 3 - c o t g 5 u 5

= - c o t g 3 u 9 - c o t g 5 u 15

Passo 6

Agora para obter o resultado final, vamos voltar a troca de variáveis que foi feita.

u = 3 x

- c o t g 3 u 9 - c o t g 5 u 15 = - c o t g 3 3 x 9 - c o t g 5 3 x 15

Resposta

∫ c o t g 2   3 x ⋅ c o s s e c 4   3 x   d x = - c o t g 3 3 x 9 - c o t g 5 3 x 15

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