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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 57

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

5 7 .   ∫ d x 2 + x - 1

Passo 1

Vamos fazer uma substituição simples na nossa integral:

u = x - 1 ⇒ d u = d x

Ou seja:

∫ 1 2 + u d u

Passo 2

Para facilitar um pouco mais, vamos fazer novamente uma substituição simples:

t =   u ⇒ d t = 1 2 u d u

Ou seja:

∫ 1 2 + t 2 t   d t = 2 ∫ t 2 + t   d t

Passo 3

E agora? Substituição simples mais uma vez:

p =   2 + t ⇒ d p = d t

Ou seja:

2 ∫ p - 2 p   d p =   2 ∫ p p   d p -   2 ∫ - 2 p   d p

Passo 4

Vamos integrar os termos separadamente.

1º Integral:

2 ∫ p p   d p =   2 ∫ p p ⋅ p p   d p

= 2 ∫ p   d p

=   2 ∫ p 1 2   d p = 2 ⋅ 2 p 3 2 3 + c  

2º Integral:

2 ∫ - 2 p   d p =   - 4 ∫ p - 1 2   d p  

= - 4 ⋅ 2 p 1 2 + d

Passo 5

Juntando tudo ficamos com:

2 ∫ p - 2 p   d p =   4 p 3 2 3 - 8 p 1 2 + C  

Voltando para nossa variável inicial temos:

p =   2 + t

Ou seja:

= 4 2 + t 3 2 3 - 8 2 + t 1 2 + C  

t =   u

Ou seja:

= 4 2 + u 3 2 3 - 8 2 + u 1 2 + C

u = x - 1

Ou seja:

= 4 2 + x - 1 3 2 3 - 8 2 + x - 1 1 2 + C

Resposta

∫ d x 2 + x - 1 = 4 3 2 + x - 1 3 2 - 8 2 + x - 1 + C

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