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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 50

Use as frações parciais para deduzir a fórmula de integração:

∫ 1 a 2 - x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ a + x a - x + C

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é essa aqui:

∫ 1 a 2 - x 2 d x

O método mais interessante e viável para resolvermos essa integral é utilizarmos frações parciais, ou seja, escrever o denominador como um produto a fim de separar essa divisão em frações parciais, desse jeito ó:

1 a 2 - x 2 = 1 a - x a + x

1 a - x a + x = A a - x + B a + x

Então nosso dever agora é encontrar A e B , show? Bora lá!

Passo 2

Fazendo MMC e comparando o grau das variáveis em ambos os lados da igualdade, teremos:

1 = A a + x + B a - x

1 = A a + A x + B a - B x

1 = x A - B + a A + a B

Escrevendo um sisteminha para isso, teremos:

A - B = 0 a A + a B = 1

Como A = B , então:

2 a B = 1

B = 1 2 a = A

Substituindo nosso resultado nas frações que escrevemos lá em cima:

A a - x + B a + x = 1 2 a 1 a - x + 1 a + x

Então a integral que temos que resolver é:

1 2 a ∫ 1 a - x + 1 a + x d x

Passo 3

Essa integral é bem manjada, galera! Como x está no denominador e tem grau 1, o resultado será:

1 2 a ∫ 1 a - x + 1 a + x d x = 1 2 a - ln ⁡ a - x + ln ⁡ a + x + C

Reescrevendo esse resultado de outra forma, teremos:

∫ 1 a 2 - x 2 d x = 1 2 a ln ⁡ a + x a - x + C

Exatamente como queríamos demonstrar! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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