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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 5

Calcule a integral indefinida.

int arctan sqrt(x) d x

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral. Para essa integral, vamos investigar com calma a função arcotangente. Sabemos que

(arctan x)^' = (1)/(1 + x^2)

Assim,

(arctan sqrt(x))^' = (1)/(1 + (sqrt(x))^2) * (sqrt(x))^' = (1)/(2 (x + 1) sqrt(x))

Vamos tentar usar isso e fazer uma integração por partes. Lembrando que

int u d v = u v - int v d u

Vamos chamar u = arctan sqrt(x) e d v = d x . Assim,

d u = (1)/(2 (x + 1) sqrt(x)) d x e v = x

Assim,

I = int arctan sqrt(x) d x = x arctan sqrt(x) - int (x)/(2 (x + 1) sqrt(x)) d x

Portanto,

I = x arctan sqrt(x) - I_1 ,

onde

I_1 = int (x)/(2 (x + 1) sqrt(x)) d x = int (sqrt(x))/(2 (x + 1)) d x

Passo 2

Para calcular I_1 , vamos fazer a substituição t = sqrt(x) , assim t^2 = x e

d x = 2 t d t

Portanto,

I_1 = (1)/(2) int (t)/(t^2 + 1) * 2 t d t = int (t^2)/(1 + t^2) d t

Note que t^2 = 1 + t^2 - 1 . Assim,

(t^2)/(1 + t^2) = (1 + t^2 - 1)/(1 + t^2) = 1 - (1)/(1 + t^2)

Logo,

I_1 = int (1 - (1)/(1 + t^2)) d t = t - arctan t

Voltando para variável x :

I_1 = sqrt(x) - arctan sqrt(x)

Passo 3

Desta forma, lembrando que

I = x arctan sqrt(x) - I_1 ,

temos que

I = x arctan sqrt(x) - (sqrt(x) - arctan sqrt(x))

Adicionando a constante de integração:

I = x arctan sqrt(x) - sqrt(x) + arctan sqrt(x) + C

Resposta

x arctan sqrt(x) - sqrt(x) + arctan sqrt(x) + C

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