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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.11 - Ex. 27

Compare Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . Então esboce um diagrama como o da figura 6, mostrando o segmento de reta com comprimentos d x , d x e Δ y .

y = x 2 ,           x = 1 ,   d x = 0,5

Passo 1

A Figura 6 mostra a comparação entre a diferencial d y e a variação verdadeira da função, Δ y , quando acrescentamos um valor d x em x . Vamos fazer o mesmo. Encontramos o diferencial d y de uma função y ( x ) derivando-a e multiplicando pelo diferencial d x :

d y = y ' x   d x

Já a variação verdadeira Δ y é feita simplesmente diminuindo y ( x + Δ x ) de y ( x ) :

Δ y = y x + Δ x - y ( x )

Passo 2

Primeiro vamos calcular o diferencial. Derivando y em relação a x , temos:

y = x 2

⇒ d y d x = 2 x

Nosso diferencial é então:

d y = 2 x   d x

Então, para x = 1 e d x = 0,5 , o diferencial é:

d y = 2 ⋅ 1 ⋅ 0,5 ⇒ d y = 1

Passo 3

Agora vamos calcular Δ y . A diferença é entre os pontos x = 1 e x + Δ x = 1,5 :

Δ y = y 1,5 - y 1 = 1,5 2 - 1 2 = 2,25 - 1

⇒ Δ y = 1,25

Podemos ver que os valores de d y e y são bem diferentes, então a aproximação de Δ y por d y não foi boa para esse valor de x e esse valor muito grande de d x .

Passo 4

Então vamos representar d y e Δ y num gráfico. Fazemos o gráfico de y = x 2 e representamos o ponto ( 1,1 ) . Representamos também o ponto ( 1,5 ,   2,25 ) , marcando Δ x = d x e Δ y . Através da reta tangente, achamos d y .

Resposta

d y = 1

Δ y = 1,25

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